A versão original de esta história apareceu em Revista Quanta.
Imagine um exercício de treinamento bizarro: um grupo de corredores começa a correr em uma pista circular, com cada corredor mantendo um ritmo único e constante. Será que cada corredor acabará “solitário” ou relativamente longe de todos os outros, pelo menos uma vez, independentemente da velocidade?
Os matemáticos conjecturam que a resposta é sim.
O problema do “corredor solitário” pode parecer simples e inconsequente, mas surge de muitas formas na matemática. É equivalente a questões de teoria dos números, geometria, teoria dos grafos e muito mais – sobre quando é possível obter uma linha de visão clara em um campo de obstáculos, ou onde as bolas de bilhar podem se mover sobre uma mesa, ou como organizar uma rede. “Tem tantas facetas. Toca tantos campos matemáticos diferentes”, disse Matias Beck da Universidade Estadual de São Francisco.
Para apenas dois ou três corredores, a prova da conjectura é elementar. Os matemáticos provaram isso para quatro corredores na década de 1970 e, em 2007, conseguiram até sete. Mas nas últimas duas décadas, ninguém conseguiu avançar mais.
Então, no ano passado, Matthieu Rosenfeldum matemático do Laboratório de Ciência da Computação, Robótica e Microeletrônica de Montpellier, estabeleceu a conjectura para oito corredores. E dentro de algumas semanas, um estudante do segundo ano da Universidade de Oxford chamado Tanupat (Paul) Trakulthongchai construído sobre as ideias de Rosenfeld para provar isso para nove e 10 corredores.
O progresso repentino renovou o interesse no problema. “É realmente um salto quântico”, disse Beck, que não esteve envolvido no trabalho. Adicionar apenas um corredor torna a tarefa de provar a conjectura “exponencialmente mais difícil”, disse ele. “Passar de sete corredores para agora 10 corredores é incrível.”
O traço inicial
No início, o problema do corredor solitário não tinha nada a ver com corrida.
Em vez disso, os matemáticos estavam interessados num problema aparentemente não relacionado: como usar frações para aproximar números irracionais como pi, uma tarefa que tem um vasto número de aplicações. Na década de 1960, um estudante de pós-graduação chamado Jörg M. Wills conjecturou que um método centenário para fazer isso é ideal – que não há como melhorá-lo.
Em 1998, um grupo de matemáticos reescreveu essa conjectura na linguagem da corrida. Dizer N os corredores partem do mesmo ponto em uma pista circular com 1 unidade de comprimento e cada um corre a uma velocidade constante diferente. A conjectura de Wills equivale a dizer que cada corredor sempre acabará sozinho em algum momento, não importa quais sejam as velocidades dos outros corredores. Mais precisamente, cada corredor irá, em algum momento, encontrar-se a uma distância de pelo menos 1/N de qualquer outro corredor.
Quando Wills viu o artigo do corredor solitário, ele enviou um e-mail a um dos autores, Luis Goddyn da Universidade Simon Fraser, para parabenizá-lo por “este nome maravilhoso e poético”. (Resposta de Goddyn: “Oh, você ainda está vivo.”)
Os matemáticos também mostraram que o problema do corredor solitário é equivalente a outra questão. Imagine uma folha infinita de papel milimetrado. No centro de cada grade, coloque um pequeno quadrado. Então comece em um dos cantos da grade e desenhe uma linha reta. (A linha pode apontar em qualquer direção que não seja perfeitamente vertical ou horizontal.) Qual o tamanho que os quadrados menores podem atingir antes que a linha atinja um deles?
À medida que as versões do problema do corredor solitário proliferaram em toda a matemática, o interesse pela questão cresceu. Os matemáticos provaram diferentes casos da conjectura usando técnicas completamente diferentes. Às vezes, eles dependiam de ferramentas da teoria dos números; outras vezes, recorreram à geometria ou à teoria dos grafos.
